Сколько всего существует целых чисел n, при которых дробь (16n+49) / (4n+3) является целым числом? а) 1 б) 2 в) 3 г) 4 д) 5.

Данную дробь обозначим через А = (16 * n + 49) / (4 * n + 3). Поскольку рассматриваются только целые значения n, то выражение А всегда имеет смысл, то есть для всех целых n, справедливо 4 * n + 3 ≠ 0. Нетрудно убедиться, что данную дробь можно представить в следующем виде: А = 4 + 37 / (4 * n + 3). Такое представление дроби А позволяет нам подтвердить такой факт: дробь А будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь 37 / (4 * n + 3) окажется целым числом. В свою очередь, дробь 37 / (4 * n + 3) будет целым числом тогда и только тогда, когда выражение 4 * n + 3 будет делителем числа 37. Как известно, число 37 является простым числом, то есть число 37 имеет два натуральных делителя: 1 и 37. Поскольку речь идёт о целых значениях выражения 37 / (4 * n + 3), то к числу делителей числа добавим ещё два отрицательных числа: - 1 и - 37. Исследуем все 4 делителя числа 37. Пусть 4 * n + 3 = - 37. Тогда, n = (-37 - 3) : 4 = - 40 : 4 = - 10. Нашли одно целое значение n, удовлетворяющее условиям задания. Пусть 4 * n + 3 = - 1. Тогда, n = (-1 - 3) : 4 = - 4 : 4 = - 1. Нашли ещё одно целое значение n, удовлетворяющее условиям задания. Пусть 4 * n + 3 = 1. Тогда, n = (1 - 3) : 4 = - 2 : 4 = - ½. Это число не является целым числом. Пусть 4 * n + 3 = 37. Тогда, n = (37 - 3) : 4 = 34 : 4 = 8½. Это число также не является целым числом. Таким образом, существует всего два целых числа n (-10 и - 1), при которых дробь (16 * n + 49) / (4 * n + 3) является целым числом.

Ответ: б) 2.