Найти производную функции у=ln (lnx + (под корнем 1+ln^2x))

Найдём производную данной функции: y = ln (ln x + √ (1 + ln^2 x)).

Эту функцию можно записать так: y = ln (ln x + (1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2)).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(ln x) ' = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (ln (ln x + (1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))) ' = ((ln x) ' + ((1) ' + (ln x) ' * ((ln x) ^2) ' * (((1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2)) ') * (ln (ln x + (1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))) ' = ((1 / x) + (0 + (1 / x) * (2ln x) * (1 / (2 ((1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))) * (1 / (ln x + (1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))) = ((1 / x) + ((2ln x) / x (2 ((1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))) / (ln x + (1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))).

Ответ: y' = ((1 / x) + ((2ln x) / x (2 ((1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))) / (ln x + (1 + (ln x) ^2) ^ (1 / 2))).