1) Найдите два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6. В ответе укажите наибольшее из чисел. 2) Найдите остаток от деления 6 (в степени 592) на 11. 3) Найдите последнюю цифру числа 9 (в степени 2012).

1) Два трехзначных числа x и y:

{x + y = 504k;

{x/y = 6l; {6ly + y = 504k;

{x = 6ly; { (6l + 1) y = 504k;

{x = 6ly;

504 = 72 * 7 = 2^3 * 3^2 * 7.

6l + 1 не делится ни на 2 и ни на 3, значит, y делится на 72:

{y = 72m;

{x = 6ly; {y = 72m;

{x = 6l * 72m; {y = 72m;

{x = 432lm.

Единственное решение при m = 1; l = 1;

{y = 72 * 1;

{x = 432 * 1 * 1; {y = 72, (меньшее число не трехзначное);

{x = 432.

2) Составим сравнения по модулю 11:

6^1 ≡ 6 (mod 11); 6^2 ≡ 36 ≡ 3 (mod 11); 6^4 ≡ 9 (mod 11); 6^5 ≡ 54 ≡ - 1 (mod 11); 6^10 ≡ 1 (mod 11); 6^590 ≡ 1 (mod 11); 6^592 ≡ 36 ≡ 3 (mod 11).

3) Составим сравнения по модулю 10:

9^1 ≡ - 1 (mod 10); 9^2 ≡ 1 (mod 10); 9^2012 ≡ 1 (mod 10).

Ответ:

1) 432; 2) 3; 3) 1.