Решите уравнение (х квадрат+4 х) в квадрате+7 х в квадрате+28 х+12=0

Рассмотрим уравнение (х² + 4 * х) ² + 7 * х² + 28 * х + 12 = 0. Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения, преобразуем двучлен: 7 * х² + 28 * х = 7 * (х² + 4 * х). Следовательно, данное уравнение примет вид: (х² + 4 * х) ² + 7 * (х² + 4 * х) + 12 = 0. Введём новую переменную следующим образом у = х² + 4 * х. Тогда, данное уравнение превратится в следующее квадратное уравнение у² + 7 * у + 12 = 0. Решим это уравнение. Вычислим его дискриминант: D = 7² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1 > 0. Положительность дискриминанта позволяет утверждать, что квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: у₁ = (-7 - √ (1)) / (2 * 1) = (-7 - 1) / 2 = - 8/2 = - 4; у₂ = (-7 + √ (1)) / (2 * 1) = (-7 + 1) / 2 = - 6/2 = - 3. Исследуем каждый корень по отдельности. Пусть у = - 4. Тогда обратная замена переменной позволит написать равенство х² + 4 * х = - 4, которое является квадратным уравнением х² + 4 * х + 4 = 0. Вычислим его дискриминант D₁ = 4² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0. Так как дискриминант равен нулю, то исследуемое квадратное уравнение имеет один действительный корень: х = (-4) / 2 = - 2. Теперь рассмотрим второй корень у = - 4. Сделаем обратную замену переменной. Имеем: х² + 4 * х = - 3 или х² + 4 * х + 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет дискриминант D₂ = 4² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0. Так как дискриминант больше нуля, то последнее квадратное уравнение имеет два действительных корня: х₁ = (-4 - √ (4)) / (2 * 1) = (-4 - 2) / 2 = - 6/2 = - 3 и х₂ = (-4 + √ (4)) / (2 * 1) = (-4 + 2) / 2 = - 2/2 = - 1.

Ответ: х = - 2; х = - 3 и х = - 1.