Доказать, что если число не кратно 7, то квадрат этого числа при делении на 7 не может дать остаток равный 5

Всякое число х, которое не делится на 7, можно представить в виде 7 * k + n, где k - некоторое целое число, а n - остаток от деления числа х на 7, которые может принимать целые значения от 1 до 6.

Определим, чему равен остаток от деления х² на 7 при каждом из 6-ти возможных значениий n.

1) n = 1

х² = (7 * k + 1) ² = 49 * k² + 14 * k + 1 = 7 * (7 * k² + 2 * k) + 1.

Остаток от деления х² на 7 равен 1.

2) n = 2

х² = (7 * k + 2) ² = 49 * k² + 28 * k + 4 = 7 * (7 * k² + 4 * k) + 4.

Остаток от деления х² на 7 равен 4.

3) n = 3

х² = (7 * k + 3) ² = 49 * k² + 42 * k + 9 = 7 * (7 * k² + 6 * k + 1) + 2.

Остаток от деления х² на 7 равен 2.

4) n = 4

х² = (7 * k + 4) ² = 49 * k² + 56 * k + 16 = 7 * (7 * k² + 8 * k + 2) + 2.

Остаток от деления х² на 7 равен 2.

5) n = 5

х² = (7 * k + 5) ² = 49 * k² + 70 * k + 25 = 7 * (7 * k² + 10 * k + 3) + 4.

Остаток от деления х² на 7 равен 4.

6) n = 6

х² = (7 * k + 6) ² = 49 * k² + 64 * k + 36 = 7 * (7 * k² + 12 * k + 5) + 1.

Остаток от деления х² на 7 равен 1.

Следовательно, если число не делится на 7, то квадрат этого числа при делении на 7 может давать в остатке числа 1, 2 и 4 и не может давать в остатке 5.