Докажите, что если к трехзначному числу прибавить удвоенную сумму его цифр, то полученное число будет делиться на 3

Предположим, что трехзначное число A записывается

цифрами a, b, c. Тогда это число можно представить в виде десятичного разложения:

А = 100 * а + 10 * b + c.

Сумма цифр данного числа равна a + b + c.

Рассмотрим сумму трехзначного числа А и удвоенную сумму его цифр:

А + 2 * (a + b + c) =

= 100 * a + 10 * b + c + 2 * (a + b + c) =

= 102 * a + 12 * b + 3 * c.

Заметим, что 102 = 3 * 34 и 12 = 3 * 4. Следовательно, имеем:

102 * а + 12 * b + 3 * c = 3 * 34 * a + 3 * 4 * b + 3 * c =

= 3 * (34 * a + 4 * b + c). Отсюда вытекает, что рассматриваемая сумма делится на 3, что и требовалось доказать.