Найдите наименьшее значение функции y=x^2-5/x^2+5

1. Вычислим производную функции и найдем ее критические точки:

y = (x^2 - 5) / (x^2 + 5);

y' = { (x^2 - 5) ' (x^2 + 5) - (x^2 + 5) ' (x^2 - 5) } / (x^2 + 5) ^2;

y' = {2x (x^2 + 5) - 2x (x^2 - 5) } / (x^2 + 5) ^2;

y' = (2x^3 + 10x - 2x^3 + 10x) / (x^2 + 5) ^2;

y' = 20x / (x^2 + 5) ^2;

y' = 0;

20x / (x^2 + 5) ^2 = 0;

x = 0.

2. Промежутки монотонности:

x ∈ (-∞; 0), y' <0 - функция убывает; x ∈ (0; ∞), y'> 0 - функция возрастает;

x = 0 - точка минимума.

3. Наименьшее значение функция получит в единственной точке минимума:

y (min) = y (0) = (0^2 - 5) / (0^2 + 5) = - 5/5 = - 1.

Ответ: - 1.