Какое пятизначное число имеет наибольшее число натуральных делителей?

Число натуральных делителей числа n определяется следующим образом:

n = (p₁) ^m₁ • (p₂) ^m₂ • ... • (p_k) ^m_k - разложение любого натурального числа на простые множители.

d (n) = (m₁ + 1) • (m₂ + 1) • ... • (m_k + 1) - количество всех натуральных делителей.

То есть количество всех натуральных делителей некоторого числа n определяется максимальной степенью входящих в него простых делителей.

1) Рассмотрим самое большое 5-значное число, состоящее только из 2 (самое маленькое простое число) : 65 536 = 2¹⁶. Оно имеет d (n) = 16 + 1 = 17 различных натуральных делителей.

2) Наибольшее 5-значное, состоящее из 3: 59 049 = 3¹⁰. Имеет d (n) = 10 + 1 = 11 натуральных делителей.

3) Увеличивать простое число нет смысла, попробуем заменить "немного" простых 2 в (1) на тройки с целью увеличения количества делителей и самого 5-значного числа: 2¹⁵ = 32 768, 32 768 • 3 = 98 304.

Имеем: 98 304 = 2¹⁵ • 3¹. d (n) = (15 + 1) • (1 + 1) = 32. Делителей гораздо больше.

4) Заменим еще две 2 в (3) на 3 (заменить одну не получится) : 73 728 = 2¹³ • 3². d (n) = (13 + 1) • (2 + 1) = 42.

5) Продолжим замены:

55 296 = 2¹¹ • 3³. d (n) = (11 + 1) • (3 + 1) = 48;

41472 = 2⁹ • 3⁴. d (n) = (9 + 1) • (4 + 1) = 50;

62 208 = 2⁸ • 3⁵. d (n) = (8 + 1) • (5 + 1) = 54;

93 312 = 2⁷ • 3⁶. d (n) = (7 + 1) • (6 + 1) = 56;

Последнее число - это максимум натуральных делителей.

Ответ: 93 312 имеет 56 натуральных делителей.