log₃ (3^x - 8) = 2-x Ответ должен быть равен 2 ... как решается?

log₃ (3^x - 8) = 2 - x.

По определению логарифма получаем:

3^x - 8 = 3^{2 - х};

3^x - 8 = 3² + 3 ^{- х};

3^x - 8 = 3² / 3^х.

Сделаем замену 3^х = t:

t - 8 = 9 / t.

Домножим обе части уравнения на t:

t² - 8t = 9;

t² - 8t - 9 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = 100;

t₁ = 9, t₂ = - 1.

Сделаем обратную замену:

3^х = 9,

3^х = 3²,

х = 2.

3^х = - 1 - не имеет решений.

Сделаем проверку корня:

log₃ (3² - 8) = 2 - 2;

log₃ (9 - 8) = 0;

log₃1 = 0;

3⁰=1;

1 = 1 - верное равенство.

Ответ: х = 2.