Решите уравнение 2ctg x * 3tg x + 5=0

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, применив основное тождество ctgx * tgx = 1:

2 сtgx + 3tgx + 5 = 0;

2/tgx + 3tgx + 5 = 0;

Выполним замену tgx = t:

2/t + 3t + 5 = 0;

(3t² + 5t + 2) / t = 0;

3t² + 5t + 2 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 3 * 2 = 25 - 24 = 1;

D › 0, значит:

t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 5 - √1) / 2 * 3 = ( - 5 - 1) / 6 = - 6 / 6 = - 1;

t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 5 + √1) / 2 * 3 = ( - 5 + 1) / 6 = - 4 / 6 = - 2/3;

Тогда, если t2 = - 2/3, то:

tgx = - 2/3;

х = arctg ( - 2/3) + πn, n ∈ Z;

х1 = - arctg (2/3) + πn, n ∈ Z;

если t1 = - 1, то:

х = arctg ( - 1) + πn, n ∈ Z;

х2 = - arcctg (1) + πn, n ∈ Z;

х2 = - π/4 + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = - arctg (2/3) + πn, n ∈ Z, х2 = - π/4 + πn, n ∈ Z.