ctg 5x=ctg 2x найти корни расположенные на промежутке (0; 90) ответ в градусах

Прежде всего, отметим, что данное тригонометрическое уравнение имеет смысл для таких х, которые удовлетворяют неравенствам 5 * х ≠ π * k и 2 * х ≠ π * n, где k и n - целые числа. Применим формулу ctgx = cosx / sinx к обеим частям данного уравнения. Тогда, имеем: cos (5 * x) / sin (5 * x) = cos (2 * x) / sin (2 * x) или (sin (5 * x) * cos (2 * x) - cos (5 * x) * sin (2 * x)) / (sin (5 * x) * sin (2 * x)) = 0. Умножая обе части последнего уравнения на sin (5 * x) * sin (2 * x) ≠ 0, получим sin (5 * x) * cos (2 * x) - cos (5 * x) * sin (2 * x) = 0. Применим формулу sin (α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ (синус разности). Тогда, имеем: sin (5 * x - 2 * х) = 0 или sin (3 * x) = 0. Последнее уравнение позволяет определить 3 * x = π * m, где m - целое число. Разделив обе части последнего равенства на 3, получим х = (π / 3) * m или х = 60° * m, где m - целое число. Осталось выделить такие х, которые удовлетворяют неравенствам: 0° < x < 90° и условиям п. 1. Анализ показывает, что только одно значение m = 1 удовлетворяет указанным условиям. Следовательно, х = 60°.

Ответ: х = 60°.