Решить уравнение Cos2X=√2 (cosx-sinx)

Найдем корни уравнения, решив уравнение.

cos (2 * x) = √2 * (cos x - sin x);

cos² x - sin² x = √2 * (cos x - sin x);

Разложим на множители многочлен в левой части уравнения.

(cos x - sin x) * (cos x + sin x) = √2 * (cos x - sin x);

(cos x - sin x) * (cos x + sin x) - √2 * (cos x - sin x) = 0;

Общий многочлен вынесем за скобки.

(cos x - sin x) * (cos x + sin x - √2) = 0;

Найдем корни уравнений по отдельности.

1) cos x - sin x = 0;

(cos x - sin x) ² = 0²;

cos² x - 2 * cos x * sin x + sin² x = 0;

-sin (2 * x) + 1 = 0;

sin (2 * x) = 1;

2 * x = пи/2 + 2 * пи * n, n ∈ Z;

x = пи/4 + пи * n, n ∈ Z;

2) (cos x + sin x - √2) = 0;

cos x + sin x = √2;

(cos x + sin x) ² = √2²;

cos² x + 2 * cos x * sin x + sin² x = 2;

1 + sin (2 * x) = 2;

sin (2 * x) = 1;

x = пи/4 + пи * n, n ∈ Z;

Ответ: x = пи/4 + пи * n, n ∈ Z.