В многоугольнике провели все диагонали. их оказалось 27. что это за многоугольник?

1. Каждая вершина n-угольника соединена диагональю с n - 3 вершинами (не считая соседних вершин, с которыми образует две соседние стороны, и ее самой).

2. Поскольку в каждой диагонали участвуют две вершины, то для количества диагоналей n-угольника получим:

N (n) = n (n - 3) / 2.

3. По условию задачи имеем:

N (n) = 27; n (n - 3) / 2 = 27; n (n - 3) = 54; n^2 - 3n - 54 = 0; D = 3^2 + 4 * 54 = 9 + 216 = 225; n = (3 ± √225) / 2 = (3 ± 15) / 2;

1) n = (3 - 15) / 2 = - 12/2 = - 6 - не подходит;

2) n = (3 + 15) / 2 = 18/2 = 9.

Ответ: 9-угольник.