У треугольника KMN, угол K=80, угол N = 40, а сторона KN имеет длину 6 см. Найдите радиус круга описаного вокруг треугольника

Из расширенной теоремы синусов известно, что:

k/sinK = m/sinM = n/sinN = 2R,

где k, m и n - стороны произвольного треугольника, противолежащие углам K, M и N соответственно. В треугольнике KMN напротив угла К лежит сторона MN, напротив угла М лежит сторона KN, напротив угла N лежит сторона КМ, тогда:

MN/sinK = KN/sinM = KM/sinN = 2R.

Найдем градусную меру угла М. По теореме о сумме углов треугольника:

угол K + угол М + угол N = 180 градусов;

80 + угол М + 40 = 180;

угол М = 180 - 120;

угол М = 60 градусов.

Следовательно:

KN/sinM = 2R;

6/sin60 = 2R;

6 / √3/2 = 2R;

12/√3 = 2R;

2√3R = 12 (по пропорции);

R = 12/2√3;

R = 6/√3 = 6√3 / 3 = 2√3 (см).

Ответ: R = 2√3 см.