Докажите тождество: а (b+c) ^2+b (c+a) ^2+c (a+b) ^2-4abc = (a+b) (b+c) (c+a)

Раскроем скобки и приведём подобные члены в левой и правой частях равенства:

a (b + c) ^2 + b (c + a) ^2 + c (a + b) ^2 - 4abc =

= ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 - 4abc =

= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc;

(a + b) (b + c) (c + a) = (ab + ac + b^2 + bc) (c + a) =

= abc + ac^2 + cb^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + ab^2 + abc =

= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc.

В обоих случаях получено одно и то же выражение. Тождество доказано.