Докажите тоджество a (b+c) ^2+C (a+b) ^2-4abc = (a+b) (b+c) (c+a)

Для того, чтобы доказать тождество a (b + c) ^2 + c (a + b) ^2 + c (a + b) ^2 - 4abc = (a + b) (b + c) (c + a) мы должны получить выражение в правой и левой части одинаковое.

Начнем с выполнения открытия скобок в левой части равенства и приведения подобных слагаемых:

a (b + c) ^2 + b (c + a) ^2 + c (a + b) ^2 - 4abc = a (b^2 + 2bc + c^2) + b (c^2 + 2ac + a^2) + c (a^2 + 2ab + b^2) - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + c^2b + 2abc + a^2b + a^2c + 2abc + b^2c - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + c^2b + a^2b + a^2c + b^2c.

Откроем скобки в правой части уравнения:

(a + b) (b + c) (c + a) = (ab + ac + b^2 + bc) (c + a) = abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + c^2b + a^2b + a^2c + b^2c.

Что и требовалось доказать.