В Северной Балбесии прошли выборы президента, в которых участвовали все жители страны. Кандидат, ставший президентом, получил на выборах более половины голосов, при этом за него проголосовало 99% малограмотного населения и 1% грамотного населения. Докажите, что если бы 35% грамотного населения не пришли на выборы, то этот кандидат собрал бы более 60% голосов (от числа участников) в свою поддержку.

Question

Виктория Ефимова

Математика

10 ноября, 09:09

В Северной Балбесии прошли выборы президента, в которых участвовали все жители страны. Кандидат, ставший президентом, получил на выборах более половины голосов, при этом за него проголосовало 99% малограмотного населения и 1% грамотного населения. Докажите, что если бы 35% грамотного населения не пришли на выборы, то этот кандидат собрал бы более 60% голосов (от числа участников) в свою поддержку.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Фрейя · Answer 1

Пусть в Северной Балбесии проживает X малограмотных граждан и Y грамотных граждан.

Тогда всего в Северной Балбесии X + Y граждан. Все эти граждане участвовали в выборах.

За кандидата-победителя проголосовало 0,99X малограмотных граждан и 0,01Y грамотных граждан.

Кандидат-победитель получил более половины голосов. Составим неравенство.

0,99X + 0,01Y > 0,5 * (X + Y)

0,99X + 0,01Y > 0,5X + 0,5Y

0,99X - 0,5X > 0,5Y - 0,01Y

0,49X > 0,49Y

X > Y

Что было бы, если бы 35% грамотных граждан не пришли на выборы?

Тогда в выборах участвовало бы только 65% грамотных граждан, то есть 0,65Y.

Также в выборах участвовало бы X малограмотных граждан.

Всего в выборах участвовало бы X + 0,65Y граждан.

За кандидата-победителя по-прежнему проголосовало бы 0,99X малограмотных граждан.

Нам нужно доказать, что кандидат-победитель получил бы не менее 60% голосов. Поэтому мы рассмотрим наименее выгодную для кандидата-победителя ситуацию, при которой ни один из грамотных граждан за него не проголосовал. Мы докажем, что даже в этом случае кандидат-победитель получил бы не менее 60% голосов.

Таким образом, за кандидата-победителя проголосовало бы всего 0,99X граждан.

Мы можем найти долю участников голосования, которые проголосовали бы за кандидата-победителя:

0,99X / (X + 0,65Y)

Нам нужно доказать, что выражение, которое мы записали, больше 0,6.

Ранее мы доказали, что X > Y. Преобразуем это неравенство.

Y < X

0,65Y < 0,65X

X + 0,65Y < X + 0,65X

X + 0,65Y < 1,65X

1 / (X + 0,65Y) > 1 / 1,65X

0,99X / (X + 0,65Y) > 0,99X / 1,65X

0,99X / (X + 0,65Y) > 0,99 / 1,65

0,99X / (X + 0,65Y) > 0,6

Мы доказали, что доля участников голосования, которые проголосовали бы за кандидата-победителя, составила бы не менее 0,6. То есть не менее 60%.