1) 11 - (x+1) ^2>=x 2) (x+3) ^2 * (x-2) * (x+5) <0 3) (2*x^2-x+1) / (x^2+1) <0

1) 11 - (x + 1) ^2 ≥ x.

Раскроем скобки:

11 - (x^2 + 2 х + 1) ≥ x;

11 - x^2 - 2 х - 1 - x ≥ 0;

-x^2 - 3 х + 10 ≥ 0;

умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

x^2 + 3 х - 10 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 + 3 х - 10, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 + 3 х - 10 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 3; c = - 10;

D = b^2 - 4ac; D = 3^2 - 4 * 1 * (10) = 9 + 40 = 49 (√D = 7);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (-3 - 7) / 2 = - 10/2 = - 5.

х₂ = (-3 + 7) / 2 = 4/2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки - 5 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [-5; 2].

2) (x + 3) ^2 (x - 2) (x + 5) < 0.

Так как выражение (x + 3) ^2 всегда больше нуля, значит выражение (x - 2) (x + 5) меньше нуля.

(x - 2) (x + 5) < 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Находим корни неравенства:

х - 2 = 0; х = 2.

х + 5 = 0; х = - 5.

Отмечаем на числовой прямой точки - 5 и 2, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) - 5 (-) 2 (+).

Так как знак неравенства < 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будет промежуток (-5; 2).

3) (2x^2 - x + 1) / (x^2 + 1) < 0.

Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как знаменатель (x^2 + 1) всегда положительный, значит числитель меньше нуля.

2x^2 - x + 1 < 0.

Рассмотрим функцию у = 2x^2 - x + 1, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 2x^2 - x + 1 = 0.

D = (-1) ^2 - 4 * 2 * 1 = 1 - 8 = - 7 (нет корней).

Значит, нет точек пересечения с осью х. Вся парабола находится над осью х (ветви вверх), и так как неравенство имеет знак < 0, то решение неравенства - нет решения.