Докажите, чтоа) сумма двух чётных чисел есть чётное числоб) сумма двух нечетных чисел есть чётное числов) сумма чётного и не чётного числа есть нечётное числог) если x, y-произвольные натуральные числа то xy (x+y) и xy (x-y) - чётные числа

Известно что любое четное число можно записать как 2k, а нечетное как 2k+1. Обозначим первое слагаемое как a а второе как b.

а). Докажем, что сумма двух чётных чисел есть чётное число.

Пусть a = 2n, b = 2m. Тогда их сумма будет равна a + b = 2n + 2m = 2 * (n + m). А это произведение будет четным числом.

б). Докажем, что сумма двух нечетных чисел есть чётное число.

Пусть a = 2n + 1, b = 2m + 1. Тогда их сумма будет равна a + b = 2n + 1 + 2m + 1 = 2 * (n + m) + 2 = 2 * ((n + m) + 1). А это произведение будет четным числом.

в). Докажем, что сумма чётного и не чётного числа есть нечётное число.

Пусть a = 2n, b = 2m + 1. Тогда их сумма будет равна a + b = 2n + 2m + 1 = 2 * (n + m) + 1. А это произведение будет нечетным числом.

г). Если x, y - произвольные натуральные числа, то докажем, что с - чётные числа.

Раскроем скобки x²y + x y² и x²y - x y².

Предположим, что оба числа x и y, одновременно четные или не четные, мы получим варианты а и б, которые мы уже доказали.

Предположив что одна из x или y четная а друга не четная получим x²y и xy² одновременно, либо четными либо нечетным, а это значить что мы возвращаемся снова к вариантам а и б.

Что и требовалось доказать.