Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции y=6 cosx + 8sinx - 3 на отрезке от 0 до п/2

1. Преобразуем функцию:

y = 6cosx + 8sinx - 3; y = 10 (0,8sinx + 0,6cosx) - 3. (1)

2. Пусть:

φ = arcsin0,6, тогда: sinφ = 0,6; cosφ = √ (1 - sin^2φ) = √ (1 - 0,6^2) = √ (1 - 0,36) = √0,64 = 0,8.

3. Заменим числа 0,8 и 0,6 в уравнении (1) соответствующими тригонометрическими функциями и воспользуемся формулой для синуса суммы двух углов:

y = 10 (cosφ * sinx + sinφ * cosx) - 3; y = 10sin (x + φ) - 3.

4. Для заданного ограничения получим:

x ∈ [0; π/2]; x + φ ∈ [φ; π/2 + φ].

Наибольшее значение:

ymax = 10sin (π/2) - 3 = 10 - 3 = 7.

Наименьшее значение будет на одном из концов отрезка:

1) y (0) = 10sin (0 + φ) - 3 = 10sinφ - 3 = 10 * 0,6 - 3 = 6 - 3 = 3; 2) y (π/2) = 10sin (π/2 + φ) - 3 = 10cosφ - 3 = 10 * 0,8 - 3 = 8 - 3 = 5; ymin = 3.

5. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [0; π/2]:

ymax + ymin = 7 + 3 = 10.

Ответ: 10.