0,5lg (x2+x-5) = lg5x+lg (1/5x)

1. Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством произведения логарифма:

0,5lg (x² + x - 5) = lg5x + lg (1/5x);

0,5lg (x² + x - 5) = lg5x * (1/5x);

0,5lg (x² + x - 5) = lg1;

2. Внесем показатель степени под логарифм;

lg (x² + x - 5) ^1/2 = lg1;

3. Из равенства основания логарифмов следует:

(x² + x - 5) ^1/2 = 1;

√ (x² + x - 5) = 1;

Возведем в квадрат обе части уравнения:

x² + x - 5 = 1;

x² + x - 5 - 1 = 0;

x² + x - 6 = 0;

4. Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * ( - 6) = 1 + 24 = 25;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (-1 - √25) / 2 * 1 = ( - 1 - 5) / 2 = - 6 / 2 = - 3;

х2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 1 + √25) / 2 * 1 = ( - 1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2;

5. Выполним проверку:

5x > 0;

1/5x > 0;

x² + x - 5 > 0;

если х1 = - 3, то 5 * ( - 3) > 0;

- 15 > 0, неравенство не выполняется;

если х2 = 2, то 2² + 2 - 5 > 0;

4 + 2 - 5 > 0;

1 > 0, неравенство выполняется;

Значит, корень только один х = 2;

Ответ: х = 2.