0,5lg (8-x) = lg (1+sqrt (x+5)); sqrt (x+5) это корень из x+5

Логарифмическое уравнение. Поскольку основания логарифма одинаковы, решение крайне простое. Прежде всего, установим область определения х: - 5 < = x < 8.

1) Вносим множитель 0,5 под логарифм. Получим: lg (sqrt (8-x)) = lg (1 + sqrt (x+5));

2) Приравниваем выражения под логарифмом: sqrt (8-x) = 1 + sqrt (x+5);

3) Возводим обе части в квадрат: 8 - x = 1 + 2sqrt (x+5) + x + 5;

4) Приводим подобные множители: 2 - 2x = 2sqrt (x+5);

5) Сокращаем на 2 и возводим в квадрат еще раз: 1 - 2x + x^2 = x + 5;

6) Получаем обычное квадратное уравнение: x^2 - 3x - 4 = 0;

7) Находим корни: x = - 1 и x = 4.

8) Проверяем область определения.

Ответ: - 1 и 4.