6sin^2x+7cosx=1, где корни принадлежат [-п; 2 п]

6sin²x + 7cosx = 1

1. Преобразуем sin²x в (1 - cos²x).

6 (1 - cos²x) + 7cosx = 1

2. Раскроем скобки, единицу перенесем в левую часть.

6 - 6cos²x + 7cosx - 1 = 0

3. Подведем подобные члены.

- 6cos²x + 7cosx + 5 = 0

4. Умножим уравнение на (-1).

6cos²x - 7cosx - 5 = 0

5. Сделаем замену cosx = а. Получается квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта.

6 а² - 7 а - 5 = 0

D = 49 + 120 = 169 (кв. корень равен 13)

а₁ = (7 + 13) / 12 = 20/12 = 5/3

а₂ = (7 - 13) / 12 = - 6/10 = - 1/2

6. Возвращаемся к замене cosx = а.

cosx = 5/3 (такого не может быть, косинус всегда больше - 1, но меньше 1)

cosx = - 1/2

х₁ = 2 П/3 + 2 Пn

х₂ = - 2 П/3 + 2 Пn

7. С помощью единичной окружности находим корни, принадлежащие промежутку [-п; 2 п].

2 П/3; - 2 П/3; 4 П/3