На доске записаны 10 нулей, 18 единиц и 15 двоек. За один ход разрешается стереть две различные цифры и дописать одну третью цифру (напр-р: стираются нуль и единица, то дописывается двойка). Д-ть, что если в результате таких операций на доске окажется одно число, то оно не зависит от порядка в котором производились стирания. Какое число останется на доске?

Пусть a₁ - начальное количество нулей, b₁ - начальное количество единиц, c₁ - начальное количество двоек, a₂ - получившееся количество нулей, b₂ - получившееся количество единиц, c₂ - получившееся количество двоек, d - количество дописываний нуля, e - количество дописываний единицы, f - количество дописываний двойки. Составим систему уравнений:

a₂ = a₁ + d - e - f,

b₂ = b₁ - d + e - f,

c₂ = c₁ - d - e + f.

Получим выражения для d, e, f:

2d = b₁ + c₁ - (b₂ + c₂),

2e = a₁ + c₁ - (a₂ + c₂),

2f = a₁ + b₁ - (a₂ + b₂).

Так как число b₁ + c₁ = 18 + 15 = 33 нечётное, то b₂ + c₂ должно быть нечётным, значит, b₂ + c₂ = 1.

Так как число a₁ + c₁ = 10 + 15 = 25 нечётное, то a₂ + c₂ должно быть нечётным, значит, a₂ + c₂ = 1.

Так как число a₁ + b₁ = 10 + 18 = 28 чётное, то a₂ + b₂ должно быть чётным, значит, a₂ + b₂ = 0.

Решим систему уравнений:

b₂ + c₂ = 1,

a₂ + c₂ = 1,

a₂ + b₂ = 0.

Получим a₂ = 0, b₂ = 0, c₂ = 1. На доске останется число 2.