1) Докажите, что последняя цифра любого натурального числа совпадает с последней цифрой пятой степени этого же числа. Для каких ещё степеней это верно? 2) Докажите, что произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8 3) Докажите, что число, состоящее из трёх едениц и нескольких девяток (в любом порядке), не является точным квадратом (т. е квадратом целого числа)

1) Пусть N - натуральное число и последняя цифра в его записи А.

Тогда N можно представить в виде:

N = 10 * m + A, где m - натуральное число. Так как:

(a + b) ^5 = a^5 + 5 * a^4 * b + 10 * a^3 * b^2 + 10 * a^2 * b^3 + 5 * a * b^4 + b^5, то, очевидно, что

N^5 = 10 * M + A^5, где М - натуральное число. Следовательно, последняя цифра N^5 совпадает с последней цифрой А^5.

Заметим, что 1^5 = 1, 2^5 = 32, 3^5 = 243, 4^5 = 1024, 5^5 = 3125, 6^5 = 7776, 7^5 = 16807, 8^5 = 32768, 9^5 = 59049.

Значит, последняя цифра А и А^5 совпадают, что и требовалось доказать.

Этот факт останется верным для любой степени вида 5 * к, где к - натуральное число.

2) Из двух четных последовательных чисел одно обязательно делится на 4, а другое на 2. Следовательно, их произведение делится на 8.

3) Число А, состоящее из 3 единиц и нескольких 9, имеет сумму цифр, которая делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, само число делится на 3, но не делится на 9.

Если А = В^2, то так как А = 3 * к, то 3 * к = В^2.

Значит В делится на 3 и В = 3 * m:

3 * k = 9 * m^2 и следовательно k делится на 3. Поэтому А делится на 9. Но наше число на 9 не делится и его невозможно представить в виде квадрата целого числа.