Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Произведено 7 выстрелов. Найти вероятность того, что имело место: а) четыре поражения цели; б) шесть поражений; в) не более шести поражений.

Введем обозначения:

n - количество выстрелов;

k - количество удачных выстрелов;

p - вероятность поражения цели при очередном выстреле;

q - вероятность промаха при очередном выстреле.

По условию n = 7 и p = 0,8. Вычислим значение q.

q = 1 - 0,8 = 0,2.

Пункт А.

Нам понадобится формула Бернулли:

P_n (k) = p^k * q^ (n - k).

С помощью этой формулы мы можем вычислить вероятность того, что мишень была поражена четыре раза. В данном случае k = 4.

P₇ (4) = C⁴₇ * p^4 * q^ (7 - 4);

C⁴₇ = 7! / (4! * (7 - 4) !) = 7! / (4! * 3!) = (5 * 6 * 7) / (2 * 3) = 35;

P₇ (4) = 35 * p^4 * q^3 = 35 * 0,8^4 * 0,2^3 = 35 * 0,4096 * 0,008 = 0,114688 ≈ 0,115 = 11,5%.

Пункт Б.

Снова используем формулу Бернулли. Вычислим вероятность того, что мишень была поражена шесть раз. В данном случае k = 6.

P₇ (6) = C⁶₇ * p^6 * q^ (7 - 6);

C⁶₇ = 7! / (6! * (7 - 6) !) = 7! / (6! * 1!) = 7;

P₇ (6) = 7 * p^6 * q^1 = 7 * 0,8^6 * 0,2 = 7 * 0,262144 * 0,2 = 0,3670016 ≈ 0,367 = 36,7%.

Пункт В.

Допустим, событие G произойдет, если мишень будет поражена семь раз. Вычислим вероятность события G.

P (G) = P₇ (7) = p^7 = 0,8^7 = 0,2097152.

Событие Ḡ произойдет, если мишень будет поражена менее семи раз (то есть не более шести раз). Вычислим вероятность события Ḡ.

P (Ḡ) = 1 - P (G) = 1 - 0,2097152 = 0,7902848 ≈ 0,790 = 79,0%.

Ответ:

а) приблизительно 11,5%;

б) приблизительно 36,7%;

в) приблизительно 79,0%.