Сколько целых чисел содержится во множестве значений функции y=2sin2x+sinx+1? Ответ 4, но как к нему придти?

1. Область значений функции y = 2sin2x + sinx + 1 отличается от области значений функции f (x) = 2sin2x + sinx лишь на единицу, поэтому из соображений симметрии рассмотрим эту функцию.

2. В точке x = π/4 значение функции превосходит 2:

f (π/4) = 2sin (2 * π/4) + sin (π/4) = 2sin (π/2) + sin (π/4) = 2 + √2/2 > 2.

Однако, не существует такой точки, в которой функция достигает значения 3, поскольку обе функции sinx и sin2x не могут одновременно принимать максимальные значения:

sinx = 1 = > cosx = 0 = > sin2x = 2sinx * cosx = 0.

3. Следовательно, областью значений функции f (x) является промежуток [-a; a] (т. к. синус нечетная функция), где:

2 < a < 3.

4. Промежутку [-a; a] принадлежат 5 целых чисел:

-2; - 1; 0; 1; 2.

5. Столько же целых решений получим для исходной функции y = 2sin2x + sinx + 1:

-1; 0; 1; 2; 3.

Ответ. 5 целых чисел.