Решите 9^x-6*3^ (x-1) ≤3

1. Воспользуемся свойством степеней и преобразуем показательное неравенство:

9 ^х - 6 * 3 ^{(х - 1)} ≤ 3;

3 ^{2 х} - 6 * 3 ^х / 3≤ 3;

3 ^{2 х} - 2 * 3 ^х ≤ 3;

3 ^{2 х} - 2 * 3 ^х - 3 ≤ 0;

2. Выполним замену у = 3 ^х , у > 0 и решим квадратное уравнение:

у² - 2y - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 2) ² - 4 * 1 * ( - 3) = 4 + 12 = 16;

D › 0, значит квадратное уравнение имеет два корня:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (2 - √16) / 2 * 1 = (2 - 4) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √16) / 2 * 1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3;

+ - +

---• ( - 1) - --• (3) - --

y ∈ [ - 1; 3];

3. Составим систему уравнений:

{ - 1 ≤ y ≤ 3;

{y > 0;

Значит, 0 ≤ y ≤ 3;

4. Подставим нашу переменную назад:

у = 3 ^х ;

0 ≤ 3 ^х ≤ 3;

0 ≤ 3 ^х ≤ 3 1;

0 ≤ 3 ^х , верно при любом значении х;

3 ^х ≤ 3 ¹;

х ≤ 1;

Ответ: х ∈ [ - ∞; 1].