1) доказать что (1+а1) (1+а2) ... (1+an) _>2n, где а1; а2; ... положительные числа и а1*а2 ... аn=1 2) через точку пересечения медиан равностороннего треугольника проведен отрезок параллелен к одной из сторон. найти его длину если сторона треугольника равна 6 см.

1) (1 + a₁) * (1 + a₂) * ... * (1 + a_n) ≥ 2 n.

Рассмотрим следующее преобразование:

(1 - √a_k) ² ≥ 0;

1 + a_k - 2 √a_k ≥ 0;

1 + a_k ≥ 2 √a_k

Заменим теперь в произведении все значения в скобках на меньшее (или равное) значение. Тем самым само произведение тоже уменьшится (или не изменится):

(2 √a₁) * (2 √a₂) * ... * (2 √a_n) = 2 ⁿ √ (a₁ a₂ ... a_n) = 2 ⁿ,

- так как произведение под корнем равно единице по условию.

Покажем что:

2 ⁿ ≥ 2 n.

2 ⁿ^-1 ≥ n.

Используем бином Ньютона:

(1 + 1) ^{n - 1} = 1 + (n-1) + (n - 1) (n - 2) / 2 + ... = n + c (n) ≥ n,

так как c (n) некоторая не отрицательная величина, зависящая от n.

2) Длина расстояния от вершины равностороннего треугольника до точки пересечения медиан, делённая на длину медианы равна 2/3.

Линия, проведённая через точку пересечения медиан параллельно одной из сторон, отсекает от основного треугольника подобный ему треугольник.

Основание второго треугольника L, делённое на основание основного треугольника со стороной d = 6 см, равно отношению их медиан по подобию треугольников.

Медиана второго треугольника равна отсечённой от вершины до точки пересечения медианы основного треугольника. Получим:

L/d = 2/3;

L = 2/3 d = 4 см.