Найдите значение производной функции f (x) = x*sin4x в точке x0=П/2

1. Производная произведения двух выражений:

(pq) ' = pq' + p'q;

f (x) = x * sin (4x);

f' (x) = x * (sin (4x)) ' + x' * sin (4x);

f' (x) = x * cos (4x) * (4x) ' + 1 * sin (4x);

f' (x) = 4x * cos (4x) + sin (4x).

2. Вычислим значение производной в точке x0 = π/2:

f' (x0) = f' (π/2) = 4 * π/2 * cos (4 * π/2) + sin (4 * π/2);

f' (x0) = 2π * cos (2π) + sin (2π);

f' (x0) = 2π * 1 + 0 = 2π.

Ответ: f' (x0) = 2π.