Вычислить площадь треугольника A (3; - 13; 8) В (4; - 11; 4) С (1; - 9; 10)

1. Находим размеры сторон треугольника по формулам:

AB = √ (х1 - x2) ² + (z1 - z2) ² + (y1 - y2) 2.

BC = √ (х2 - x3) ² + (z2 - z3) ² + (y2 - y3) 2.

AC = √ (х1 - x3) ² + (z1 - z3) ² + (y1 - y3) ².

Получаем:

AB = √ (3 - 4) ² + (8 - 4) 2 + (-13 - (-11)) 2=

√ (-1) 2 + 42 + (-2) 2 = √1 + 16 + 4 = √21 = 4,58.

BC = √ (4 - 1) 2 + (4 - 10) 2 + (-11 - (-9)) 2 =

√32 + (-6) 2 + (-2) ² = √9 + 36 + 4 = √49 = 7.

AC = √ (3 - 1) 2 + (8 - 10) 2 + (-13 - (-9)) 2 =

√2² + (-2) ² + (-4) ² = √4 + 4 + 16 = √24 = 4,9.

2. Находим полупериметр по формуле:

P = 1/2 * (AB + AC + BC).

P = 1/2 * (4,58 + 4,9 + 7) = 1/2 * 16,48 = 8,24.

3. Находим площадь по формуле Герона:

S = √ (P - AB) * (P - AC) * (P - BC) * P.

S = √ (8,24 - 4,58) * (8,24 - 4,9) * (8,24 - 7) * 8,24 =

√ 3,66 * 3,34 * 1,24 * 8,24 = √124,90 = 11,18.

Ответ: площадь треугольника равна 11,18 кв. ед.