Найдите наименьшее натуральное число, которое при деление на 22 дает в остатке 14, а при делении на 17 дает в остатке 9. найдите наибольшее трехзначное число, которое при делении на 13 дает в остатке 10, а на 8, дает в остатке 2

1.

a) Если натуральное число n при делении на 22 дает в остатке 14, то его можно представить в виде:

n = 22k + 14, k = 0, 1, 2, ...

Аналогично, число n при делении на 17 дает в остатке 9:

n = 17l + 9, l = 0, 1, 2, ...

b) Разница между частном и остатком в обоих случаях равна одной и той же величине:

22 - 14 = 8;

17 - 9 = 8.

Поэтому, если к числу n прибавим 8, то получим число, делящееся на 22 и на 17:

n + 8 = 22k + 14 + 8 = 22k + 22 = 22 (k + 1); n + 8 = 17l + 9 + 8 = 17l + 17 = 17 (l + 1).

Наименьшее же число, кратное 22 и 17:

n + 8 = 22 * 17 = 374, отсюда: n = 374 - 8 = 366.

2.

n = 13k + 10, k = 0, 1, 2, ... n = 8l + 2, l = 0, 1, 2, ...

В этом случае, если отнимем число 10, то получим число, делящееся на 13 и на 8:

n - 10 = 13k + 10 - 10 = 13k; n - 10 = 8l + 2 - 10 = 8l - 8 = 8 (l - 1).

Наименьшее трехзначное число, кратное 13 и 8:

n - 10 = 13 * 8 = 104, отсюда: n = 104 + 10 = 114.

Ответ: 1) 366; 2) 114.