Даны натуральные числа x₁, ..., xn. Докажите, что число (1 + x₁²) (1 + x₂²) * ... * (1 + xn²) можно представить в виду суммы квадратов целых чисел. Решить методом математической индукции.

Докажем данное утверждение методом математической индукции, то есть переходя от частного к общему. Рассмотрим сначала выражение (1 + x₁²) (1 + x₂²). Для начала раскроем в нем скобки:

(1 + x₁²) (1 + x₂²) = 1 + x₁² + x₂² + x₁²*x₂² = 1 + x₁² + x₂² + (x₁*x₂) ².

Каждое слагаемое в этом выражении является квадратом какого-либо числа (1 = 1²).

Аналогично, добавляя каждую последующую скобку, мы будем снова получать слагаемые, являющиеся квадратами.

Следовательно, частный случай с двумя скобками можно применить и ко всему выражению. Что и требовалось доказать.