Решить уравнение 4tgx + 3|tgx| = sin2x |tgx| - модуль тангенса x.

Рассмотрим три случая для раскрытия модуля в уравнении:

4tgx + 3|tgx| = sin2x.

a) При tgx = 0 получим верное равенство:

0 = 0.

Решение: x = πk, k ∈ Z.

b) tgx < 0; (1)

x ∈ (-π/2 + πk, 0 + πk), k ∈ Z;

4tgx - 3tgx = sin2x; tgx = 2sinx * cosx; sinx = 2sinx * cos^2 (x); 2cos^2 (x) = 1; cos^2 (x) = 1/2; cosx = ±√2/2;

x = - π/4 + πk, k ∈ Z, с учетом условия (1).

c) tgx > 0; (1)

x ∈ (0 + πk, π/2 + πk), k ∈ Z;

4tgx + 3tgx = sin2x; 7tgx = 2sinx * cosx; 7sinx = 2sinx * cos^2 (x); 2cos^2 (x) = 7; cos^2 (x) = 7/2; cosx = ±√ (7/2), нет решений.

Ответ: πk; - π/4 + πk, k ∈ Z.