Известно, что p и 8p^2+1 - простые числа. Найти число p.

1. Обозначим второе число:

q = 8p^2 + 1.

2. Проверим первые два простых числа:

a) p = 2;

q = 8p^2 + 1 = 8 * 2^2 + 1 = 33 - составное число;

b) p = 3;

q = 8p^2 + 1 = 8 * 3^2 + 1 = 73 - простое число.

3. Любое простое число, превосходящее 3, можно представить в виде:

p = 6k ± 1, k ∈ N.

4. Составим сравнения по модулю 3:

6k ≡ 0 (mod 3); 6k ± 1 ≡ ±1 (mod 3); p ≡ ±1 (mod 3); p^2 ≡ 1 (mod 3); 8p^2 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3); 8p^2 + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3); q ≡ 0 (mod 3). (1)

5. Из сравнения (1) следует, что q делится на 3, следовательно, единственное решение:

p = 3.

Ответ: 3.