В выпуклом четырёхугольнике ABCD, точка m лежит на середине стороны AD, точка m равноудалена от всех вершин, углы B и C равны 116 и 94 соответственно. Сторона BC равна 9. Найдите AD.

Question

Джеси

Математика

20 мая, 19:10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD, точка m лежит на середине стороны AD, точка m равноудалена от всех вершин, углы B и C равны 116 и 94 соответственно. Сторона BC равна 9. Найдите AD.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Полина Кузьмина · Answer 1

Решение:

Пусть ABCD четырехугольник, M - середина сторона AD,
По условию задачи точка M равноудалена от вершин, поэтому этот четырехугольник можно считать вписанным в окружность с центром в точке M с диаметром AD.

Из теоремы о вписанном четырехугольнике в окружность, что сумма его противоположных углов равны 180°, следует;

Треугольник MCD равнобедренный, поэтому
Треугольник BMC тоже равнобедренный,
Сторону │MB│ = │MC│ - обозначим через r.

Теперь, для определения длины стороны BC можем использовать теорему косинусов.

│BC│² = │MB│² + │MC│² - 2 * │MB│ * │ MC│ * cos
│BC│² = r² + r² - 2 * r * r * cos120° = 2r² - 2 * r2 * (-1/2) = 2r² + r2.

9² = 3 * r² = > r = 9 / √3 = 3√3.

│AD│ = 2r = 6√3.

Ответ: 6√3.