1) Сколько углов, равных 60 градусов и имеющих общую вершину и общие с соседями стороны, можно построить? 2) Отметьте точку и проведите из нее лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми. 3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные соседними лучами, были острыми?

1. Обозначим число максимально возможных углов через t.

360º максимально возможное число градусов занятых углами.

60º t = 360º.

t = 6.

2. Проведём из точки четыре луча. Если все четыре угла тупые, то

есть каждый луч больше 90º, то общее число градусов будет

больше 360º, что невозможно. Следовательно, число лучей

должно быть меньше четырёх.

Три луча можно провести из точки так, что между ними угол будет

тупым и равен 120º.

3. Четыре луча с углами между ними 90º займут 360º.

Если мы уменьшим один из углов, сделав его острым, то есть

меньше 90º, то обязательно один из углов станет больше 90º,

То есть станет тупым. Следовательно, число лучей должно быть

больше четырёх.

Пять лучей, расположенных равномерно по окружности, с углами

между ними 360º/5 = 72º удовлетворяют заданной задаче.