Докажите, что для любого натурального n значение дроби является натуральным числом. ((7^4n) - 1) / 10

Обозначим данное алгебраическое выражение через А = (7^{4 *} ⁿ - 1) / 10. Воспользуемся следующим свойством степеней. При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются, то есть (aⁿ) ^m = a^{n * m}, где a - любое число, а m и n - любые натуральные числа. Имеем 7^{4 *} ⁿ = (7⁴) ⁿ. Вычислим 7⁴ = 7 * 7 * 7 * 7 = 2401. Заметим, что последняя цифра числа 2401 равна 1. Нетрудно убедиться в том, что при любом натуральном n последней цифрой числа 2401ⁿ также будет являться цифра 1. Следовательно, последней цифрой разности 7^{4 *} ⁿ - 1 = 2401ⁿ - 1 будет цифра 0. Любое число с последней цифрой 0 без остатка делится на 10, то есть А - натуральное число. Что и требовалось доказать.