Шахматная доска разрезана на 13 прямоугольников с целым числом клеток. Доказать, что они не могут все быть различными.

Пусть:

n - количество клеток одного прямоугольника; S (i) - количество клеток в различных i прямоугольниках;

1) n = 1;

1 х 1; s (1) = 1; S (1) = 1;

2) n = 2;

1 х 2; s (2) = 2; S (2) = 3;

3) n = 3;

1 х 3; s (3) = 3; S (3) = 6;

4) n = 4;

1 х 4; 2 х 2; s (4) = 2 * 4 = 8; S (5) = 14;

5) n = 5;

1 х 5; s (5) = 5; S (6) = 19;

6) n = 6;

1 х 6; 2 х 3; s (6) = 2 * 6 = 12; S (8) = 31;

7) n = 7;

1 х 7; s (7) = 7; S (9) = 38;

8) n = 8;

1 х 8; 2 х 4; s (8) = 2 * 8 = 16; S (11) = 54;

9) n = 9;

1 х 9; 3 х 3; s (9) = 2 * 9 = 18; S (13) = 72.

Количество клеток в различных 13 прямоугольниках не меньше 72, следовательно, среди них должны быть одинаковые.