Логарифмическое уравнение. log₂ (x² - 3x - 10) = 3

Прежде чем решить логарифмическое уравнение log₂ (x² - 3x - 10) = 3, сначала определим область допустимых значений х, для которых данное уравнение имеет смысл. Как известно, если дан логарифм log_ab, то должны выполняться условия: a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Для нашего примера должно выполняться неравенство x² - 3x - 10 > 0. Нетрудно убедиться, что это неравенство выполнится, если х ∈ (-∞; - 2) ∪ (5; + ∞). Воспользуемся определением логарифма. Тогда, имеем x² - 3x - 10 = 2³ или x² - 3x - 10 = 8, откуда x² - 3x - 18 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением. Найдём его дискриминант D = (-3) ² - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81 > 0. Поскольку дискриминант положительный, то это уравнение имеет два различных корня. Вычислим их: х₁ = (3 - √ (81)) / 2 = (3 - 9) / 2 = - 3 и х₂ = (3 + √ (81)) / 2 = (3 + 9) / 2 = 6. Поскольку х = - 3 ∈ (-∞; - 2) и х = 6 ∈ (5; + ∞), то оба найденных корня являются решениями данного логарифмического уравнения.

Ответ: х = - 3; х = 6.