Ваня на вопрос: каков номер его квартиры дал ответ. Номер квартиры трехзначное число. Если цифрами этого числа записать все шесть двузначных различных чисел то полусумма этих чисел будет равна номеру квартиры. Вычислить номер квартиры?

Пусть KMN - это номер квартиры. K, M и N - это цифры. А k, m и n - это однозначные числа, которые им соответствуют.

KMN = 100k + 10m + n.

Составим из цифр K, M и N двузначные числа.

Числа, начинающиеся с цифры K:

KM = 10k + m;

KN = 10k + n.

Числа, начинающиеся с цифры M:

MK = 10m + k;

MN = 10m + n.

Числа, начинающиеся с цифры N:

NK = 10n + k;

NM = 10n + m.

Получилось шесть чисел. Найдем их сумму.

KM + KN + MK + MN + NK + NM = (10k + m) + (10k + n) + (10m + k) + (10m + n) + (10n + k) + (10n + m) = (10k + 10k + k + k) + (m + 10m + 10m + m) + (n + n + 10n + 10n) = 22k + 22m + 22n.

По условию задачи число KMN равно половине этой суммы. Составим уравнение.

100k + 10m + n = (22k + 22m + 22n) / 2;

100k + 10m + n = 11k + 11m + 11n.

Перенесем 11k из правой части уравнения в левую часть, а 10m и n - из левой части в правую часть.

100k - 11k = 11m + 11n - 10m - n;

89k = 10n + m;

89k = NM.

K - это первая цифра числа KMN. Значит, число k не меньше единицы.

Предположим, k > 1. Тогда k ⩾ 2 (ведь k - это целое число). Если k ⩾ 2, то 89k ⩾ 178.

Мы выяснили, что NM = 89k. Значит, NM ⩾ 178. А это невозможно, поскольку NM - двузначное число.

Значит, наше предположение о том, что k > 1, было ошибочным. Следовательно, k = 1.

Вернемся к нашему уравнению.

89k = NM;

89 * 1 = NM;

NM = 89.

Значит, n = 8 и m = 9.

Ранее мы доказали, что k = 1. Получается, что KMN = 198.

Ответ: сто девяносто восемь.