Какое количество точек пересечения не могут иметь 4 прямые? а) 5 б) 8 в) 4 г) 6

В задаче рассматривается четыре прямые. Обозначим через N количество точек, которое образуется при их взаимном пересечении. Требуется выяснить, какое из приведенных утверждений для числа N является верным:

а) N ≠ 5;

б) N ≠ 8;

в) N ≠ 4;

г) N ≠ 6;

Пересечение трех прямых

Для начала, рассмотрим две прямые (a) и (b). В случае, если они параллельны, то они не пересекаться, либо могут иметь лишь одну точку пересечения А. Возьмем третью прямую (с) и рассмотрим возможные варианты расположения трех прямых:

если (a) || (b) || (с), то все три прямые параллельны и точек пересечения нет; если из трех прямых (a); (b) и (с) лишь две параллельны, то имеется две точки пересечения А и В; если среди трех прямых нет параллельных, то они могут все проходить через одну точку А; три прямые (a); (b) и (с) могут пересекаться в трех точки, образовывая треугольника с вершинами А; В и С.

Итак, в случае трех прямых количество точек пересечения М равно одному из значений:

0; 1; 2; 3;

Пересечение четырех прямых

Проведем четвертую прямую (d). В случае попарной параллельности (a) || (b), (с) || (d) будет четыре точки пересечения:

N = 4;

Пять точек пересечения возможны, если три прямые образуют треугольник АВС и четвертая прямая пересекает, например, АВ и АС и, при этом, параллельна ВС.

Максимальное количество точек пересечения:

N = M + 3 = 6;

когда четвертая прямая пересекает все три прямые, которые, в свою очередь, имели три точки пересечения.

Ответ: б) 8; четыре прямые не могут иметь 8 точек пересечения

В том случае если все четыре прямые будут пересекаться и не будут параллельны будет 5 или 6 точек пересечения.

В том случае если прямые будут попарно параллельны будет 4 точки пересечения (их соприкосновения), то есть их общие точки.

Поэтому наш ответ: А, В, Г.