Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника: x + y - 2 = 0 и 7x - y + 4 = 0 и точка (3; 5) на его основании. Найти уравнение прямой, на которой лежит основание.

1. Угловые коэффициенты боковых сторон:

1)

x + y - 2 = 0; y = - x + 2; k1 = - 1;

2)

7x - y + 4 = 0; y = 7x + 4; k2 = 7.

2. Высота является биссектрисой:

φ = (φ1 + φ2) / 2; 2φ = φ1 + φ2; tg (2φ) = tg (φ1 + φ2); tg (2φ) = (tgφ1 + tgφ2) / (1 - tgφ1 * tgφ2); tg (2φ) = (k1 + k2) / (1 - k1 * k2); tg (2φ) = (-1 + 7) / (1 + 1 * 7) = 6/8 = 3/4; 2tgφ / (1 - tg^2φ) = 3/4; 8tgφ = 3 (1 - tg^2φ); 8tgφ = 3 - 3tg^2φ; 3tg^2φ + 8tgφ - 3 = 0; tgφ = k; 3k^2 + 8k - 3 = 0; D/4 = 4^2 + 3 * 3 = 25; k = (-4 ± √25) / 3 = (-4 ± 5) / 3;

1) k = (-4 - 5) / 3 = - 9/3 = - 3;

2) k = (-4 + 5) / 3 = 1/3.

Для точки (3; 5) подходит k = 1/3.

3. Уравнение основания:

k' = - 1/k = - 3; y - 5 = - 3 (x - 3); y = - 3x + 9 + 5; y = - 3x + 14.

Ответ: y = - 3x + 14.