Доказать что произведение четырех последовательных чисел в сумме с единицей дает полный квадрат

Прежде всего, выясним, о каких четырёх числах идёт речь. Очевидно, что если речь идёт о натуральных, даже, о целых числах, то эти числа можно представить так: n; n + 1; n + 2 и n + 3, где n - целое число. Докажем утверждение задания при любом r ∈ R, где R - множество действительных чисел. Обозначим через а среднее арифметическое чисел r; r + 1; r + 2 и r + 3, где r - действительное число. Вычислим а = (r + r + 1 + r + 2 + r + 3) : 4 = (4 * r + 6) : 4 = r + 1,5. Поскольку, а = r + 1,5, то r = а - 1,5; r + 1 = а - 0,5; r + 2 = а + 0,5 и r + 3 = а + 1,5. Обозначим через Р произведение рассматриваемых четырех последовательных чисел в сумме с единицей. Тогда, имеем: Р = (а - 1,5) * (а - 0,5) * (а + 0,5) * (а + 1,5) + 1. Примерим формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов) для соответствующих скобок, а затем раскроем все скобки. Имеем: Р = (а² - 0,25) * (а² - 2,25) + 1 = а⁴ - 0,25 * а² - 2,25 * а² + 0,5625 + 1 = а⁴ - 2,5 * а² + 1,5625. Для того, чтобы, представить последнее выражение как полный квадрат, воспользуемся формулой сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности). Имеем: Р = (а²) ² - 2 * а² * 1,25 + (1,25) ² = (а² - 1,25) ². Что и требовалось доказать.