В Треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, АС = 6, tg А=корень7/3. Найдите АВ

По условию задачи дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС и ВС, гипотенузой АВ и прямым углом С:

∠С = 90°;

Обозначим длины катетов через а и b:

a = |BC|;

b = |AC|;

Известно, что:

b = 6;

и тангенс угла А равен:

tg (∠A) = √7/3;

В задаче требуется вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС.

Запись уравнения по условию задачи

Для решения задачи:

Записываем соотношения между катетами и гипотенузой треугольника АВС; Определяем значения тригонометрических величин угла А - sin (∠A) и cos (∠A); Подставляем данные задачи и вычисляем длины катетов и гипотенузы. Проверяем полученный результат, используя теорему Пифагора.

Воспользуемся далее тем, что косинус угла равен отношению длин прилежащего катета и гипотенузы:

cos (∠А) = |AС| / |АВ| = b / c;

Синус угла равен отношению длин противолежащего катета и гипотенузы:

sin (∠А) = |BС| / |АВ| = a / c;

Соответственно, получаем:

c = b / cos (∠А);

a = c * sin (∠А) = b * sin (∠А) / cos (∠А) = b * tg (∠А);

Далее, воспользуемся тригонометрическим равенством:

cos (∠А) = 1 / √ (1 + tg² (∠А));

Получаем:

c = b / cos (∠А) = b * √ (1 + tg² (∠А));

Вычисление длины гипотенузы прямоугольного треугольника АВС

Подставляя исходные данные задачи в полученную формулу для гипотенузы, находим:

c = b * √ (1 + tg² (∠А)) = 6 * √ (1 + (√7/3) ²)

с = 6 * 4/3 = 8;

Проверка.

a = b * tg (∠А) = 6 * √7/3 = 2 * √7;

Теорема Пифагора выполняется:

а^2 + b^2 = (2 * √7) ^2 + 6^2 = 28 + 36 = 64 = с^2

Ответ: длина гипотенузы равна 8 см.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему;

tg А = √ 7 / 3 = BC / AС;

ВС = AC ∙ tg А = 6 ∙ √ 7 / 3 = 2 √ 7;

Тогда, по теореме Пифагора:

АВ = √ (ВС² + АС²) = √ (6² + 4 ∙ 7) = √ 64 = 8;

Ответ: АВ = 8;