1) Приведите пример двух иррациональных чисел, произведение которых число иррациональное. 2) Докажите что если числа a, b, √a+√b рациональные, то числа √a и √b также рациональные. 3) Сравните числа а и b а) а = √53+√31, b=√51+√33 б) a = 1 / 5+2√7 + 1 / 5-2√7, b = - √11 1/3

1) Пусть n и m два взаимно простые числа и не являющиеся квадратами целых чисел. Тогда квадратный корень из произведения этих чисел есть иррациональное число.

Пример: √ (2 * 7) = √14.

Пусть √14 = b/a, где a, b взаимно простые числа.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

b² = 14 a².

b делится на 7, а значит делится и на 7². То есть левая часть уравнения делится на 7².

Но левая часть не может делиться на 7², так как а и b взаимно простые числа.

Следовательно, √14 нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, а значит √14 иррациональное число.

2) Пусть √a + √b = m/n, где m и n взаимно простые числа.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

а + b + 2 √ (a b) = m²/n²;

Следовательно, √ (a b) = k/t, где k и t взаимно простые числа.

√a = k / (t √b);

√a + √b = k / (t √b) + √b = (k + t) / (t √b) = m/n.

Числитель дроби слева рациональное число. Её знаменатель тоже должен быть рациональным числом. Следовательно,

√b рациональное число.

√a = k / (t √b) тоже рациональное число.

3)

a) a² - b² = 53+31 + 2√ (53 * 31) - 51 - 33 - 2 √ (51 * 31) =

2√ (53 * 31) - 2 √ (51 * 31) = 2√ (1643) - 2 √ (1581) > 0.

a > b.

б) Упростим выражения:

a = 1 / (5 + 2√7) + 1 / (5 - 2√7) = 2 * 5 / (25 - 28) = - 10/3.

a - b = - 10/3 + √11 1/3 = ( - 10 + √11) / 3 < 0.

a < b.