Решите уравнение 5sin^2x-sinxcos+2cos^2x=3

Перенесем все значения в левую часть:

5sin²x - sinxcosx + 2cos²x = 3;

5sin²x - sinxcosx + 2cos²x - 3 = 0;

Применим формулу основного тождества тригонометрической функции:

1 = sin²x + cos²x;

5sin²x - sinxcosx + 2cos²x - 3 (sin²x + cos²x) = 0;

5sin²x - sinxcosx + 2cos²x - 3sin²x - 3cos²x = 0;

2sin²x - sinxcosx - cos²x = 0;

Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

2sin²x/cos²x - sinxcosx/cos²x - cos²x/cos²x = 0;

2tg²x - tgx - 1 = 0;

Выполним замену tgx = n:

2n² - n - 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 1) ² - 4 * 2 * ( - 1) = 1 + 8 = 9;

D › 0, значит:

n1 = ( - b - √D) / 2a = (1 - √9) / 2 * 2 = (1 - 3) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2;

n2 = ( - b + √D) / 2a = (1 + √9) / 2 * 2 = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1;

Тогда, если n2 = 1, то:

tgx = 1;

х = arctg (1) + πn, n ∈ Z;

x1 = π/4 + πn, n ∈ Z;

если n1 = - 1/2, то:

tgx = - 1/2;

х = arctg ( - 1/2) + πn, n ∈ Z;

х2 = - arctg (1/2) + πn, n ∈ Z;

Ответ: x1 = π/4 + πn, n ∈ Z, х2 = - arctg (1/2) + πn, n ∈ Z.