на доске написано 30 последовательных натуральных чисел. Известно что сумма десяти из них число простое. Может ли сумма оставшихся 20 чисел быть простым числом? Найдите наименьшее натуральное число, произведение цифр которого = 2000

1.

1) Пусть наименьшее из чисел равно a1. Тогда сумма всех 30 чисел равна:

S30 = 30 (2a1 + 29) / 2 = 15 (2a1 + 29). (1)

2) Очевидно, суммы 10 и 20 чисел из них - S10 и S20, больше 2, следовательно, если они простые, то должны быть нечетными. Но сумма нечетных чисел S10 и S20 дает четное число:

S10 + S20 = S30 = 2n.

3) Но это невозможно, поскольку из уравнения (1) следует, что S30 нечетно.

2. Разложим число 2000 на простые множители:

2000 = 2^4 * 5^3.

Наименьшее число получим при трех пятерках и по одной двойке и восьмерке:

25 558.