Вычислить наибольший из возможных обьемов параллелепипеда, если известно, что в его основании лежит квадрат, а периметр боковой грани равен 12

Периметр прямоугольника со сторонами a и b:

p = 2a + 2b = 2 (a + b);

a + b = p/2;

b = p/2 - a = 12/2 - a = 6 - a.

Пусть сторона квадрата равна а.

Объем параллелепипеда:

V = a^2 * b = а^2 * (6 - a) = 6a^2 - a^3.

Найдем максимум функции V (a). Для этого находим производную и приравниваем к нулю:

V' = (6a^2 - a^3) ' = 12a - 3a^2.

12a - 3a^2 = 0;

a (12 - 3a) = 0.

Корень равный нулю отбрасываем.

12 - 3a = 0;

a = 4, V = 96 - 64 = 32.

Убеждаемся, что это максимум, а не минимум.

а = 3, V = 6 * 9 - 27 = 27;

a = 5, V = 150 - 125 = 25.

Ответ. Наибольший объем - 32.