Cos4x*cos2x=cos5x*cosx

сos4x * cos2x = cos5x * cosx;

1. Воспользуемся формулой произведения тригонометрических функций:

сos4x * cos2x = (сos (4x - 2x) + сos (4x + 2x)) / 2 = (сos2x + сos6x) / 2;

cos5x * cosx = (сos (5x - x) + сos (5x + x)) / 2 = (сos4x + сos6x) / 2;

2. Подставим полученные значения и умножим на 2:

(сos2x + сos6x) / 2 = (сos4x + сos6x) / 2;

сos2x + сos6x = сos4x + сos6x;

сos2x = сos4x;

3. Применим формулу двойного аргумента тригонометрической функций:

cos4x = 2cos²2x - 1;

сos2x = 2cos²2x - 1;

4. Перенесем все значения в левую часть:

- 2cos²2x + 1 + сos2x = 0;

2cos²2x - сos2x - 1 = 0;

5. Выполним замену сos2x = у, |y| ≤ 1:

2y² - y - 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 1) ² - 4 * 2 * ( - 1) = 1 + 8 = 9;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (1 - √9) / 2 * 2 = (1 - 3) / 4 = (1 - 3) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √8) / 2 * 2 = (1 + 3) / 4 = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1;

6. Тогда, если у1 = - 1/2, то:

сos2x = - 1/2;

2 х = ± arccos ( - 1/2) + 2πn, n ∈ Z;

2 х = π ± arccos (1/2) + 2πn, n ∈ Z;

2 х = π ± π/3 + 2πn, n ∈ Z;

х = π/2 ± π/6 + πn, n ∈ Z;

х1 = 2π/3 + πn, n ∈ Z;

х2 = π/3 + πm, m ∈ Z;

если у2 = 1, то:

Воспользуемся частным случаем:

2 х = 2πk, k ∈ Z;

х3 = πk, k ∈ Z;

Ответ: х1 = 2π/3 + πn, n ∈ Z, х2 = π/3 + πm, m ∈ Z, х3 = πk, k ∈ Z.